U.gif (17539 bytes)

Лекция 9. Системы координат и их преобразование. 

Рассматриваемые здесь вопросы исчерпывающим образом изложены в учебниках по высшей геодези, космической геодезии, небесной механике. Поэтому материал данного раздела представлен по возможности кратко, а формулы даны в готовом виде, без их вывода. Задачей является описание последовательности вычисления мгновенных координат спутника в системе координат, связанной с Землей.

9.1. Орбитальная система координат

Прямоугольная орбитальная система координат, определяется следующим образом. Начало ее совпадает с центром масс Земли. Оси X0 и Y0 лежат в плоскости орбиты, то есть плоскость орбиты является основной координатной плоскостью. Ось Z0 перпендикулярна к ней. Ось X0 проходит через восходящий узел орбиты, ось Y0 направлена в сторону перигея и дополняет тем самым систему координат до правой. Прямоугольные орбитальные координаты спутника на момент t0 вычисляют, используя следующий алгоритм.

Из спутникового сообщения получают эфемеридную информацию, содержание которой дано в таблице 3.1 (Лекция 3). Из измерений получают время t прихода временной метки на приемоиндикатор. На основе модели WGS-84 используют одну из фундаментальных геодезических постоянных - произведение гравитационной постоянной на массу Земли:

mu.gif (1088 bytes)

На первом этапе вычисляют значение истинной аномалии V. Порядок вычисления следующий:

Вычисляют временной интервал D t от референцной эпохи t0 до момента наблюдений t: D t=t-t0. Вычисляют значение среднего движения: n0=(µ /a3)1/2. Вычисляют уточненное значение среднего движения: n=n0+D n. Вычисляют среднюю аномалию: M=M0+nD t. Используя уравнение Кеплера M=E-esinE, вычисляют эксцентрическую аномалию Е. Вычисляют истинную аномалию V, используя формулы: сosV=(cosE-e)/(1-ecosE) и sinV=(1-e2sinE)1/2(1-ecosE).

На втором этапе вычисляют значение аргумента широты U. Порядок вычисления следующий:

Вычисляют приближенное значение аргумента широты U0=V+w (w-угловая скорость). Вычисляют поправку в аргумент широты за влияние сжатия Земли на орбиту спутника: D U=Cuccos(2U0)+Cussin(2U0). Вычисляют уточненное значение аргумента широты
U=U0+D U.

На третьем этапе вычисляют радиус r орбиты спутника. Порядок вычисления следующий:

Вычисляют поправку в радиус орбиты за влияние сжатия Земли:
D r=Crccos(2U0)+Crssin(2U0). Вычисляют радиус орбиты r=a(1-ecosE)+D r.

И на последнем, четвертом этапе вычисляют координаты спутника на момент наблюдений X0=rcosU; Y0=rsinU.

pic9_1.gif (4902 bytes)

9.2. Мгновенная земная система координат

Прямоугольная мгновенная система координат, связанная с Землей и вращающаяся вместе с ней, определяется следующим образом. Ее начало совпадает с центром масс Земли. Ось Z совпадает с мгновенным на эпоху наблюдений (истинным) положением оси вращения Земли. Ось Х образуется пересечением плоскости, перпендикулярной оси вращения Земли и плоскости, содержащей Гринвичский меридиан. Ось Y дополняет систему координат до правой. Для того, чтобы определить координаты спутника в этой системе, то есть осуществить переход к ней от орбитальной системы координат, необходимо выполнить поворот по углу наклона орбиты и по долготе восходящего узла. Такое вращение выполняют на основе следующих данных и в следующем порядке.

Из спутникового сообщения получают эфемеридную информацию, из измерений получают время прихода сигнала на ПИ, из модели WGS-84 известно значение средней скорости  суточного вращения Земли;

omega_e.gif (1146 bytes)

которая является одной из фундаментальных геодезических постоянных.

На первом этапе вычисляют значение угла наклона орбиты на эпоху наблюдений; порядок вычислений следующий. Вычисляют поправку в угол наклона орбиты за влияние сжатия Земли на орбиту спутника: D i=Ciccos(2U0)+Cissin(2U0). Вычисляют исправленное значение угла наклона орбиты: i=i0+D i+iD t.

На втором этапе вычисляют значение долготы 1 восходящего узла орбиты; порядок вычислений следующий. Вычисляют уточненное значение прямого восхождения восходящего узла орбиты:Om_Big.gif (1009 bytes)Вычисляют уточненное значение долготы восходящего узла: 1_Om.gif (931 bytes)

И на последнем, третьем этапе вычисляют прямоугольные координаты X1,Y1,Z1 спутника в мгновенной земной системе координат, или, что то же самое, геоцентрический вектор спутника:

mat1.gif (1694 bytes)    (9.1)

9.3. Фиксированная на исходную фундаментальную эпоху земная система координат

Для того, чтобы результаты, полученные в разные эпохи, можно было сравнивать и обрабатывать совместно, их необходимо относить к единой системе координат. Такая прямоугольная общеземная система, фиксированная на исходную фундаментальную эпоху, определяется следующим образом. Ее начало совпадает с центром масс Земли. Ось Z проходит через международное условное начало (МУН). Международным соглашением принято считать этим началом среднее положение северного полюса Земли за период с 1900 по 1905 год. Ось Х образуется пересечением плоскости, перпендикулярной оси Z и плоскости, содержащей Гринвичский меридиан. Ось Y дополняет систему до правой.

По ряду причин полюс совершает сложное движение, описывая траекторию, напоминащюю спираль с амплитудой порядка 15 метров. Выделяют движение с периодом около года и около 430 суток- так называемое чандлеровское движение. Возможно, не все причины перемещения полюса выяснены, но главной из них является несовпадение оси вращения Земли с осью ее инерции. Практически же мгновенное положение полюса, то есть его координаты xp и yp определяются с ошибкой в несколько сантиметров средствами космической геодезии и публикуются Международным Бюро Времени (МБВ-BIH).

Таким образом, необходимо путем поворота системы координат перевести геоцентрический вектор спутника ­ r1, выраженный в мгновенной земной системе координат, в геоцентрический же вектор ­ rc, но отнесенный к фиксированной на исходную эпоху систему координат, связанную с МУН. Углы разворота, то есть координаты полюса, выраженные в радианах, малы- они находятся в пределах одной угловой секунды. Поэтому соотношение для преобразования координат имеет достаточно простой вид:

9_2.gif (1639 bytes)(9.2)

9.4. Прямоугольные и эллипсоидальные геодезические координаты

Прямоугольные координаты Xc,Yc,Zc точки, находящейся на земной поверхности или вблизи нее, однозначно определяют местоположение этой точки. Однако, гораздо более наглядное представление о местоположении дает система эллипсоидальных координат B, L, H, то есть геодезическая широта, долгота и высота точки, связанные с нормалью к отсчетному эллипсоиду. Еще раз напомним, что этот отсчетный эллипсоид задается системой WGS-84. По причине удобства пользования именно эллипсоидальные координаты используют для представления навигационной информации, получаемой при работе в кодовом режиме. Поскольку прямоугольные и эллипсоидальные геодезические координаты отнесены к одному и тому же эллипсоиду, между ними существует однозначная связь. Переход от эллипсоидальных координат к прямоугольным выполняется по формулам:

9_3.gif (1380 bytes)    ,(9.3)

где N- радиус кривизны эллипсоида в первом вертикале пункта наблюдения; е- первый эксцентриситет эллипсоида.

Выполнить обратный переход несколько сложнее. Геодезическая долгота вычисляется по замкнутой формуле: tgL=Y/X. Геодезическая же широта и геодезическая высота вычисляются с помощью итерраций по формулам:

9_4.gif (1426 bytes). (9.4)

Существуют, однако, и замкнутые формулы, не требующие итерраций

9.5. Связь между общеземной и референцной (локальной) системами координат

Координаты точки, полученные с помощью системы GPS, относятся к общеземной системе координат WGS-84 и определяются соответствующей системой исходных геодезических дат. Однако, на конкретной территории, в данной стране или в группе стран уже существуют геодезические сети. Они созданы наземными методами, обработаны в системе конкретного референц-эллипсоида и использованы в качестве основы для выполнения всех геодезических, картографических и других работ на данной территории. Чтобы данные, полученные в двух разных системах, были сравнимы, чтобы их можно было обрабатывать совместно и чтобы можно было использовать данные GPS для решения геодезических задач в референцной системе координат, необходимо выполнить преобразование исходных геодезических дат. Для этого, во-первых, требуется определить местоположение центра референц-эллипсоида относительно начала координат в системе спутниковых геодезических дат. Другими словами, необходимо знать три координаты центра референц-эллипсоида в общеземной системе, которые называют также параметрами параллельного переноса. Кроме того, оси двух эллипсоидов, как правило, непараллельны. Поэтому, во-вторых, бывает необходимо выполнить поворот вокруг осей одной из систем так, чтобы оси обеих систем координат стали бы параллельными. В третьих, необходимо учесть возможную разницу масштабов сетей, создаваемых различными методами и средствами измерений. Принято учитывать это различие введением коэффициента (1+m), где m- параметр, учитывающий отклонение масштаба измерений от единицы.

Таким образом, имеется семь параметров рпеобразования: три параметра параллельного переноса X0, Y0, Z0; три малых угла поворота вокруг соответствующих координатных осей Wx, Wy, Wz и масштабный коэффициент (1+m), либо просто параметр m, учитывающий отклонение этого коэффициента от единицы. Для того, чтобы перевести геоцентрический вектор ­ R пункта в вектор ­ Rr того же пункта, отнесенный к референцной системе, используется выражение:

vecR.gif (1951 bytes)     (9.5)

Иногда параметры преобразования определяются национальными геодезическими службами. В противном случае пользователь должен определять их самостоятельно. Это делают, устанавливая приемоиндикаторы на пунктах сети, координаты которых уже известны в референцной системе. Таких пунктов должно быть как минимум три и они должны располагаться по границам территории. Два набора координат- в референцной системе и в общеземной используют затем для определения параметров преобразования, используя метод наименьших квадратов. Настоятельно не рекомендуется использовать полученные таким образом параметры преобразования для пересчета координат пунктов, расположенных вне данной территории, то есть экстраполировать результаты определения параметров преобразования. При работе на небольших участках ограничиваются определением лишь трех параметров параллельного переноса и, иногда, масштабного коэффициента. Параметры вращения в этом случае сильно коррелируют с остальными параметрами, поэтому определять их нецелесообразно. Проблема, возникающая при реализации описанной процедуры заключается в том, что точность существующих сетей, созданных наземными методами, примерно на порядок ниже точности, обеспечиваемой спутниковыми системами.